【中学数学】「一次関数がわからない」が５分で解決するたった３つのポイント

教え子を見ていても、数学で一番つまづきやすいのは、「一次関数」です。

受験を目前としている中学3年の生徒でさえ、中２の内容である一次関数の問題で

点数を取れない生徒は多いです。

今日は一次関数が見るのも嫌なくらい苦手な生徒でも

誰でも５分で簡単にわかるように典型的な問題を取り上げ一次関数の説明をしていきます。

そもそも関数って何？

関数ってのはy=3x、y=2x²というふうに表されるものです。

関数ってのは言葉にすると、xとyの関係式という意味です。

例えばy=3xの式ならx=3のときy=9になるしy=15のときx=5になる

みたいに

ｘに何を入れてもそれに対応するｙの値が出てくるし、

ｙに何を入れてもそれに対応するｙの値が出てくるのが関数です。

こんな風に、ｘとｙはお互いに関係し合ってる数だから

関数って呼ばれています。

ｘとｙがお互いに関係し合ってる→関数

一次関数って何？

関数がxとｙが関係しあってる関係式ってことはわかりましたね。

で、関数にも一次関数や二次関数ってのがありますが、

一次関数は「y = 4x」のようにxが一つの場合の関数のことです。

＜例＞

ｙ＝５ｘ＋４　→　一次関数

ｙ＝４＋２ｘ　→　一次関数

ｙ＝２３　→　一次関数ではない

ｙ＝２x²　→　二次関数

y=２x²のようにｘが２乗であれば二次関数になるし、xが３乗あれば三次関数って呼ばれます。

つまり、式の中のｘが２乗でも３乗でもなくただのｘであれば一次関数ということです。

今からやっていく一次関数は、ｘが一つの関数を扱うわけですから

y=ax+bもしくはy=ax（ｂ＝０のとき）の形が

一次関数の基本形だということを覚えておいてください。

（ここでのa,bは問題によって数字が変わります）

「この中から一次関数を選べ」という問題を解こう

それでは問題を解いてみましょう。

この中から一次関数を選べ

（１）\(\displaystyle y = 4x \)（２）\(\displaystyle y = 7x^2 \)（３）\(\displaystyle y = \frac{4}{x} \)

（４）\(\displaystyle x + y = 5 \)　（５）\(\displaystyle y = 3 + 5x \)

実際に考えてみてください。

まずおさらいしておきましょう。

・一次関数はｘが２乗でも３乗でもなくただのｘである。

・基本形はｙ＝aｘ＋ｂもしくはｙ＝aｘの形である。

これがポイントです。

ではまず（１）から

（１）\(\displaystyle y = 4x \)　これは、ｘが１乗（ただのｘってこと）で、

さっきの一次関数の基本形ｙ＝aｘになっているので、これは一次関数です。

（２）\(\displaystyle y = 7x^2 \)　これは一次関数ではないですね。

ｘの右上に２乗を示す２の文字がありますね。だから

これは一次関数ではなく二次関数です。

（３）\(\displaystyle y = \frac{4}{x} \)　これは勘違いしやすいので注意ですが

一次関数ではありません。ぱっと見ｙ＝axの形になってるのかなと思いますが、

ｘが分母になってしまっているのでｙ＝aｘの形とは違いますね。（反比例のグラフですね。）

（４）\(\displaystyle x + y = 5 \)　これも引っかかりやすい問題です。

基本形とは違うから一次関数じゃない！って思うかもしれませんが、

ｙ＝の式に直すとｘ＋ｙ＝５　→　ｙ＝ーｘ＋５に変わります。

ｙ＝の形に直すとｙ＝aｘ＋ｂの基本形になるので一次関数です。

（５）\(\displaystyle y = 3 + 5x \)　これも\(\displaystyle y = 5x + 3 \)とも書き換えられるので一次関数です。

さっきの問題でも言いましたが、

ｙ＝の式に直せばｙ＝aｘ＋ｂの形になるなら

その式は一次関数の式であると言えます。

なので（１）（４）（５）が答えです。

どうしたか？正解してたでしょうか？

最後にまとめておくと、

・関数とはｘとｙが関係しあってる式のこと。

・一次関数の基本形はｙ＝aｘもしくはｙ＝aｘ＋ｂ。

・ｙ＝の式に直して基本形になるなら、一次関数である。

関数は難しい単元ですが、

少しはわかってもらえたでしょうか？

関数は中学でも高校になっても苦手とする分野なので

今後もアップしていきたいと思います。ここからはやらかし5選を紹介します。

一次関数やらかし5選

やらかし①：関数なのに y＝の形に直さない

多くの生徒が、

x + y = 5（これはよく出てくる出題形式です。）

のような式を見て「一次関数じゃない」と判断してしまいますが、y＝の形に直すことがポイントです。

→ 実はこれも一次関数で、y＝−x＋5 に変換できます。（移項する時、マイナス気を付けて！）

やらかし例

❌ そのまま見て「違う」と判断

⭕ y = −x + 5 に変形して判断

やらかし②：2乗・分母の x を勝手に一次関数扱い

式をぱっと見て、

y = 4x

と同じ形だから一次関数！

と考えるのは危険です。

注意ポイント

y = 7x² → 二次関数
y = 4/x → 反比例（一次関数ではない）

こうした見た目だけ判断してしまうと間違えます。受験になると色々な関数が混在するので、反射的に考えないようにする事がポイントです。

やらかし③：「関数」の定義を理解していない

一次関数について考える前に、そもそも 関数とは x と y の対応関係 だという根本を飛ばしてしまう人がいます。

例）

x = 2 のとき y = 10

x = 4 のとき y = 20

こうした値の対応を理解していないと、グラフや比例・変化の割合が全く見えてきません。この場合だと、y = 5x　なら、yとxに対応関係がある！と理解できますね。

問題例）

x = 6 のとき　y = 18、x = 8 のとき　y = 24　であれば、どんな式が成立しますか？

この場合は、y = 3x が成立しますね。

やらかし④：係数 a の意味を軽視する

一次関数 y = ax + b では、係数 a の値によって 傾きや変化の割合 が変わります。

この「傾き」が数学的には非常に重要なのに、

「ただの係数だ」として流してしまうミスが多いです。

これが入試直前の大きなミスにつながることもあります。

特に一次関数の場合は、「変化の割合 = 傾き」なのでしっかり覚えておきましょう。

やらかし⑤：例題で誤答の理由を考えない

記事中にも

y = (例1)

など例題があり、解き方が説明されていますが、

誤答したときになぜ間違えたのかを考えない人が非常に多いです。

例）

問題）次の中から一次関数を選べ

（1）y = 4x

（2）y = 7x²

（3）y = 4⁄x

→ 誤答パターン：3 を一次関数と答えてしまう

→ 正答理由：分母に x があると反比例になり、一次関数とは異なる

こうした誤答理由を考えないまま進むことが、つまずきの本当の原因になります。

まとめ：一次関数でやらかしやすいポイント

やらかし	具体例
y＝の形への変形を忘れる	x + y = 5 と見て一次関数と判断できない
見た目で判断する	y = 4⁄x を一次関数と誤答
関数の定義を無視	x と y の対応関係を理解していない
係数の意味を軽視	a をただの数として扱う
誤答理由を考えない	どうして間違ったか反省しない