\(\displaystyle \frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)
どうやら、「解の公式」を
覚えていますね。
あぁ、ダメだ！
数式の中でこれだけはパンクしそう
これは最大の難所ですからね。
今回はこの「解の公式」を
使った演習問題を解いてみましょう。
先ほどの生徒もかなり苦戦した下の公式↓↓↓↓↓↓↓↓
\(\displaystyle \frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)
出ました、中学数学最大の難所「解の公式」
これを覚える事が出来れば、高校受験の課題は一つクリアされたと思っても大丈夫です。
ただ、この「解の公式」はなかなか覚えるのは難しいです。
でも、覚えてしまえばあとは楽勝です。「高校生」になっても定期テストで出てくるので、中学の今の時点で覚えておいてもらうのが一番得策です。
この記事の執筆者はむーむーです。
この記事の内容
- 「解の公式」について
- 「解の公式」を使った演習問題
- まとめ
「解の公式」について
これまで数学の公式の中で、ここまでごちゃごちゃ書いている公式はなかったと思います。このごちゃごちゃ公式「解の公式」は、二次方程式の解を出すための公式で、
何度も公式を出しますが、
\(\displaystyle \frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)
これが「解の公式」です。
では、この公式はちゃんとした理由があって覚える必要があるので、ここに書いておきます。
\(\displaystyle ax^2 + bx + c \)のとき、この二次方程式の解は以下のようにあらわす事ができます。
\(\displaystyle x = \frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)
実はこの式は、二次方程式の解を出すために使われる公式です。
例えば、
\(\displaystyle x^2 + x – 6 = 0 \)の方程式の解を求めてください。
となった場合、この\(\displaystyle x^2 + x – 6 \)は因数分解する事で、\(\displaystyle ( x +3 )( x -2 ) = 0\)となり、この方程式の解は、
\(\displaystyle x = – 3,+2 \)
となります。
しかし、次の方程式のような場合どうなるのか？
\(\displaystyle 2x^2 + 5x + 1 = 0 \)の方程式の解を求めてください。
これはさすがに因数分解できません。でも、解を求めてください。と言われてる。どうするか？
ここで登場するのが「解の公式」です。この解の公式を使えば、一撃で解を出すことができる優れものです。（実は、二次方程式は因数分解しなくても解けてしまうのですが、計算問題の内容によっては因数分解の方が早いので、因数分解を使っているのです。どちらで解いてもらっても構わないですが、時間を考えると両方使う方が良いですね。）
因数分解に関して分からない方はこちらをご覧下さい。
では、解いてみましょう。
\(\displaystyle 2x^2 + 5x + 1 = 0 \)の方程式を、先ほどの公式の内容に当てはめていきます。
この場合、\(\displaystyle a = 2, b = 5, c = 1 \) と置きます。そして
\(\displaystyle x = \frac{-4±\sqrt{5^2-4・2・1}}{2・2} \)と代入していきます。
では、計算した結果
\(\displaystyle x = \frac{-4±\sqrt{25-8}}{4} = \frac{-4±\sqrt{17}}{4} \)となります。なので、
解は、\(\displaystyle x = \frac{-4±\sqrt{17}}{4} \) となります。
ただ、当てはめるだけです！
そうなんです。公式さえ覚えてしまえば、あとはそこまで難しくないのが「解の公式」です。これさえ覚えておけば点数取れるなら、絶対覚えた方が良いですからね！
では、続いて「解の公式」を使った演習問題見ていきましょう。
「解の公式」を使った演習問題
演習問題
問題
次の二次方程式を解いてみましょう。
- \(\displaystyle 3x^2 + 7x + 1 = 0 \)
- \(\displaystyle 2x^2 + 5x – 3 = 0 \)
解答 ＆ 解説
まずは１．から見ていきます。
\(\displaystyle 3x^2 + 7x + 1 = 0 \)を解の公式に当てはめる準備をしてきます。
この場合、\(\displaystyle a = 3, b = 7, c = 1 \) と置きます。そして
\(\displaystyle x = \frac{-7±\sqrt{7^2-4・3・1}}{2・3} \)と代入していきます。
それでは、計算していきます。
\(\displaystyle x = \frac{-7±\sqrt{49-12}}{6} = \frac{-7±\sqrt{37}}{6} \)となり、
解が\(\displaystyle x = \frac{-7±\sqrt{37}}{6} \)となります。
では、続いて2問目です。
\(\displaystyle 2x^2 + 5x – 3 = 0 \)を解の公式に当てはめる準備をしてきます。
この場合、\(\displaystyle a = 2, b = 5, c = -3 \) と置きます。そして
\(\displaystyle x = \frac{-5±\sqrt{5^2-4・2・(-3)}}{2・2} \)と代入していきます。
それでは、計算していきます。
\(\displaystyle x = \frac{-5±\sqrt{25+24}}{4} = \frac{-5±\sqrt{49}}{4} = \frac{-5±7}{6} \)となり、これは解を二つ計算することができるので、
解が\(\displaystyle x = – \frac{1}{3} , -2 \)となります。
この二つ目の問題は、因数分解でも解く事が出来る問題ですが、今回は「解の公式」で解いてみました。そこまで、労力かけずに解く事も出来るのですが、ちょっと計算量が多くなるので、そこはうまく選択しながら問題を解いてみてください。
解の公式 – やらかし3選
やらかし①：符号の間違い
解の公式で最も多いミスは、± の符号や b²−4ac の計算ミスです。
例題：
方程式：x² − 5x + 6 = 0
公式：
計算過程で
-
❌ −(−5) = −5 としてしまう
-
✅ −(−5) = 5 と正しく計算（たかだか符号と言わず、しっかり式を書く！）
符号の確認を怠ると、全く違う解になってしまいます。
やらかし②：平方根の計算ミス
b²−4ac を計算する際にルート内の値を間違えるケースも多いです。
例題：
方程式：2x² − 4x − 6 = 0
解の公式ルート内：b² − 4ac = (−4)² − 4×2×(−6)
-
❌ 16 − 48 = −32 → 誤答
-
✅ 16 − (−48) = 16 + 48 = 64 → 正解
平方根の計算を丁寧に行うことが大切です。中学までは、ルート内がマイナスになる事は少ないので、もしマイナスになるような事があれば、計算ミスをしていると疑いましょう。（高校からは、ルート内がマイナスの場合も出るので注意が必要！）
やらかし③：分母の 2a を忘れる
解の公式の最後のステップで、2a で割るのを忘れるミスも目立ちます。
例題：
方程式：x² + 2x − 3 = 0
-
判別式：b²−4ac = 2² − 4×1×(−3) = 16
-
解：x = (−2 ± √16)
-
❌ x = −2 ± 4 → 2つの解が分かるけど 2a で割るのを忘れる
-
✅ x = (−2 ± 4)/2 → x = 1 または x = −3
2a で割ることを最後に必ず確認しましょう。
やらかしポイント
解の公式でやらかしやすいポイントはこの3つです。
| やらかし | 具体例 |
|---|---|
| 符号の間違い | x² − 5x + 6 = 0 の計算で −(−5) を −5 としてしまう |
| 平方根の計算ミス | 2x² − 4x − 6 = 0 の判別式で b²−4ac を間違える |
| 分母 2a を忘れる | x² + 2x − 3 = 0 の最終解で 2a を割るのを忘れる |
これらを意識して練習すれば、解の公式でのミスは大幅に減らせます。
解の公式まとめ
解の公式は、演習問題で使うと
凄い威力を発揮するでしょ！
その情熱は全然分からないですが…
覚えておくと便利という事は分かりました。
（ちょっと辛いですね…）
他にも覚えておくと便利な公式は
ありますので、ぜひ覚えておいて
ください。
はーい！！
いかがでした？「解の公式」
受験には欠かせない道具が「解の公式」です。二次方程式が出てきた時にも、因数分解以外の方法で解く方法となると、「解の公式」が一番最初に出てくるため、この方法はしっかりマスターしておいてください。式さえ覚えてしまえば、得点源に出来ますし、高校に入っても末永いお付き合いをしないといけない公式なので、絶対に叩き込んで下さい！
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